Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

334 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
8.2. Formalismo hamiltoniano
En esta sección vamos a desarrollar el formalismo hamiltoniano en algebroides
de Lie. La estructura es similar a la del caso lagrangiano que se acaba de describir.
Sea (E, [·, ·]E, ρ) un algebroide de Lie sobre una variedad Q. Para el enfoque
hamiltoniano consideramos el fibrado dual, τ ∗ : E ∗ → Q de E.
8.2.1. Elementos geométricos.
En esta subsección vamos a describir los elementos geométricos que son necesarios
para desarrollar el formalismo lagrangiano k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
A. La variedad R k × k
⊕ E ∗ .
La formulación k-cosimpléctica de las ecuaciones de campo de Hamilton-De
Donder-Weyl, descrita en el Capítulo 6, se desarrolla en la variedad R k × (T 1 k )∗ Q,
donde recordemos que (T 1 k )∗ Q denota el fibrado tangente de las k 1 - covelocidades
de una variedad Q, esto es, la suma de Whitney de k copias del fibrado cotangente.
Si pensamos un algebroide de Lie E como un sustituto del fibrado tangente, su
dual E ∗ jugará el papel de T ∗ Q. Es natural pensar que, en esta situación, la variedad
va a jugar el papel de R k × (T 1 k )∗ Q.
R k × k
⊕ E ∗ ≡ R k × (E ∗ ⊕ k
. . . ⊕E ∗ ) ,
Los elementos de R k × k
⊕ E ∗ son de la forma
(t, a ∗ q) = (t, a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) .
Denotaremos por p ∗ : R k × k
⊕ E ∗ → Q la proyección canónica definida por
p ∗ (t, a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) = q .
A continuación vamos a describir un sistema local de coordenadas en R k × k
⊕ E ∗ .