Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2.4 Formalismo lagrangiano. Ecuaciones de Euler - Lagrange. 37
Denotamos por X k L (T 1 k Q) el conjunto de campos de k-vectores XL = (X 1 L , . . . , Xk L )
en T 1 k Q los cuales son solución de (1.45). A los elementos de este conjunto los denominaremos
campos de k-vectores lagrangianos.
Si cada X A L
está localmente dado por
X A L = (X A i ∂
L )
∂qi + (XA L ) i B
∂
∂v i B
, 1 ≤ A ≤ k
entonces (X1 L , . . . , Xk L ) es una solución a (1.45) si, y sólo si, las funciónes (XA L )i y
(XA L )iB satisfacen el sistema de ecuaciones
2 ∂ L
∂qi∂v j −
A
∂2L ∂qj ∂vi
(X
A
A L )j − ∂2L ∂vi A∂vj (X
B
A L ) j
B
∂2L ∂v j
B∂vi (X
A
A L ) i =
= vj
A
∂ 2 L
∂q i ∂v j
A
∂2L ∂v j
B∂vi v
A
i A
− ∂L
,
∂qi .
(1.46)
Si el lagrangiano es regular, las anteriores ecuaciones son equivalentes a las siguientes
∂ 2 L
∂q j ∂v i A
Por lo tanto cuando L es regular X A L
v j
A + ∂2L ∂vi A∂vj (X
B
A L ) j ∂L
B =
∂qi , (XA L ) i = v i A . (1.47)
∂
tiene la siguiente expresión local:
X A L = v i A
∂qi + (XA L ) i B
∂vi B
esto es, XL = (X 1 L , . . . , Xk L ) es un sopde en T 1 k Q.
Como consecuencia de los cálculos anteriores podemos enunciar el siguiente teorema:
Teorema 1.48 Sea L : T 1 k Q → R una función lagrangiana y XL = (X1 L , . . . , Xk L )
un campo de k-vectores en T 1 k Q tal que
k
A=1
en donde EL = ∆(L) − L. Entonces,
ı X A L ω A L = dEL ,
∂