Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

280 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
Definición 7.12 Sean ∇ una conexión en ˆπ Rk : Rk × Q → Rk y YA ∈ X(Rk × Q)
los campos de vectores asociados a la conexión ∇, esto es,
∂
YA =
∂tA H , A = 1, . . . , k.
Se define la función energía lagrangiana E ∇ L
y la conexión ∇ por
E ∇ L = −
k
A=1
ı Y 1 A
asociada con el lagrangiano L
Θ A L , (7.17)
donde Y 1 A ∈ X(Rk × T 1 k Q) denota el levantamiento natural de YA ∈ X(R k × Q) a
R k × T 1 k Q.
Consideremos un sistema local de coordenadas (t A , q i ) en un abierto U ⊂ R k ×Q.
Teniendo en cuenta que los campos de vectores YA, 1 ≤ A ≤ k asociados a la
conexión ∇ tienen, en este sistema de coordenadas locales, la expresión local
YA = ∂
∂t A + Γi A
entonces, de la expresión local del levantamiento de campos de vectores a R k ×T 1 k Q,
(7.14), se obtiene
Y 1 A = ∂
∂
∂
∂qi ∂tA + ΓiA ∂qi + (∂Γi A
+ vj
∂tB B
Así de la expresión local (7.12) de Θ A L
de E ∇ L :
E ∇ L =
k
A=1
∂Γi A ∂
)
∂qj ∂vi . (7.18)
B
y de (7.18) se obtiene la expresión local
∂L
(v i A − Γ i A) − L . (7.19)
∂v i A
7.2. Formalismo hamiltoniano k-cosimpléctico con
conexiones llanas.
En esta sección mostraremos como la existencia de una conexión con curvatura
cero permite la construcción de una nueva estructura k-cosimpléctica en la variedad
R k × (T 1 k )∗ Q.