Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.2 La prolongación de un algebroide de Lie mediante una fibración. 151
donde σ, σ1, σ2 ∈ Sec(E) .
Establecemos a continuación algunas expresiones locales relativas a los morfismos
de algebroides de Lie.
Sean (q i ) y (q ′ i ) dos sistemas locales de coordenadas en Q y Q ′ , respectivamente y
sean {eα} y {e ′ α} una base local de secciones de E y E ′ , respectivamente, siendo {e α }
y {e ′ α } las bases duales correspondientes. La aplicación Φ = (Φ, Φ) está determinada
por las relaciones
Φ ∗ q ′ i = φ i (q) y Φ ∗ e ′ α = φ α βe β
para ciertas funciones locales φ i y φ α β
algebroides de Lie si, y sólo si,
ρ j ∂φ
α
i
∂qj = ρ′ i
φ β γC γ
αδ =
en Q. Entonces Φ = (Φ, Φ) es un morfismo de
βφ β α , (5.7)
ρ i α
∂φ β
δ
∂qi − ρi ∂φ
δ
β α
∂qi
+ C ′ β
θσ φθ αφ σ δ . (5.8)
En estas expresiones ρ i α, C α βγ son las funciones de estructura de E y ρ′ i α, C ′ αβγ son las
funciones de estructura de E ′ .
5.2. La prolongación de un algebroide de Lie mediante
una fibración.
A continuación, vamos a recordar el concepto de la prolongación de un algebroide
de Lie mediante una fibración (véase [57, 72]).
En el desarrollo de la Mecánica lagrangiana Autónoma en algebroides de Lie,
véase E. Martínez [96], este ejemplo juega el papel del fibrado tangente del fibrado
tangente de una variedad.
Además este espacio será fundamental en la formulación k-simpléctica en algebroides
de Lie, (véase la Observación 5.10 y las secciones 5.3 y 5.4).
Para más detalles sobre los contenidos de este apartado véase [24, 57, 72, 96, 98]
y las referencias citadas en ellos.
Sean (E, [·, ·]E, ρ) un algebroide de Lie de rango m sobre una variedad Q de
dimensión n y π : P → Q una fibración, esto es, una submersión sobreyectiva.