Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

300 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
y por tanto existe s ∈ U y un entorno cerrado V de s tal que, considerando
ψ = φQ|V : V → Q
entonces
ψ [1] (f d
(V )
k t − β) = 0 ,
así (ii) es falso.
Proposición 7.26 La función energía lagrangiana E ∇ L
introducida en la Definición
7.12 es la única función definida en Rk × T 1 k Q que cumple la condición
para cada aplicación φQ : U → Q.
Demostración:
(φ [1]
Q )∗ (E ∇ L d k t) = (φ [1]
Q )∗ ((F L) ∗ θ∇ − L d k t)
Unicidad: Sean f y g dos funciones verificando la condición del enunciado. Trivialmente
se verifica que
0 = (φ [1]
Q )∗ ((f − g)d k
t) = (f − g) ◦ φ [1]
Q d k t
entonces
donde φ = (id R k, φQ).
0 = (f − g) ◦ φ [1]
Q (t) = (f − g)(j1 t φ),
La última igualdad implica que f−g = 0, ya que cada punto de R k ×T 1 k Q ≡ J 1 ˆπ R k
es de la forma j 1 t φ.
Existencia: Del item (3) en la Proposición 7.24 obtenemos
(F L) ∗ θ∇ − Ld k t = ΘL + E ∇ L dk t − Ld k t =
=
=
k
Θ A L ∧ d k−1 t A + E ∇ L d k t − Ld k t
A=1
k
(dL ◦ SdtA + 1
k LdtA ) ∧ d k−1 t A + E ∇ L d k t − Ld k t
A=1
k
dL ◦ SdtA ∧ d k−1 t A + E ∇ L d k t
A=1