Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

320 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie.
es una sección integral de un sopde ξ = (ξ1, . . . , ξk) si η es una sección integral del
campo de k-vectores en Rk × k
⊕ E
(ρ p (ξ1), . . . , ρ p (ξk))
asociado a ξ (véase el lema anterior). Es decir, η es una sección integral de ξ si y
sólo si,
ρ p
∂
(ξA)(η(t)) = η∗(t)
∂tA
t
, 1 ≤ A ≤ k . (8.19)
Si η : U ⊂ R k → R k × k
⊕ E se expresa localmente como sigue
η(t) = (ηA(t), η i (t), η α A(t)),
entonces, de la expresión local (8.18), deducimos que (8.19) es equivalente a la familia
de identidades
∂ηB
∂t A
= δ
t
A B ,
∂ηi ∂tA
t
= η α A(t)ρ i α ,
8.1.3. Formalismo lagrangiano.
∂η β
B
∂tA
t
= (ξA) β
B (η(t)) . (8.20)
En esta subsección vamos a describir la formulación lagrangiana k-cosimpléctica
en algebroides de Lie.
Con la finalidad de simplificar la notación, a lo largo de esta sección denotaremos
por d la diferencial exterior en el algebroide de Lie TE (Rk × k
⊕ E), esto es,
d: = d TE (R k × k
⊕E) .
Una función L : R k × k
⊕ E → R se llamará función lagrangiana. En primer
lugar vamos a introducir algunos objetos geométricos asociados a un lagrangiano L.
A. Secciones de Poincaré-Cartan o secciones lagrangianas.
De modo análogo a lo que ocurre en el formalismo k-cosimpléctico estándar, a
partir de los endormofismos verticales S1 , . . . , S k y dada L una función lagrangiana
se definen las siguientes 1-secciones de (TE (Rk × k
⊕ E)) ∗