Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

302 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
entre los principios variacionales que nos proporcionan las ecuaciones de Hamilton-
De Donder - Weyl y de Euler-Lagrange, recordemos que estos dos principios variacionales
han sido desarrollados en las secciones 6.1.2.B y 6.2.3.B, repectivamente.
Además vamos a ver, utilizando la Proposición 7.26, que una vez que hemos elegido
una conexión ∇, la función energía, E∇ L , es la única función que establece dicha
equivalencia.
Del Lema 7.25 y la Proposición 7.26 deducimos que para cada φQ : U ⊂ Rk → Q
con soporte compacto, se verifica
E ∇ L d k
t = ((F L) ∗ θ∇ − Ld k t)
φ [1]
Q (U)
y así, de la Proposición 7.24, obtenemos
Ld k
t =
φ [1]
Q (U)
=
φ [1]
Q (U)
φ [1]
Q (U)
(F L) ∗ θ∇ − E ∇ L d k t =
φ [1]
Q (U)
(F L) ∗
Θ =
F L◦φ [1]
Q (U)
φ [1]
Q (U)
ΘL =
Θ .
(7.48)
Conocemos de la Sección 6.2.3B que los campos solución de las ecuaciones de
Euler-Lagrange (6.34) son los extremales del funcional
S(idRk, φQ) = Ld k t
φ [1]
Q (U)
y, en la Sección 6.1.2B hemos probado que las soluciones de las ecuaciones de
Hamilton-De Donder-Weyl (6.6) son los extremales del funcional
H(ψ) = Θ.
Entonces la igualdad establecida en (7.48) nos garantiza la equivalencia entre los
dos principios variacionales del formalismo k-cosimpléctico lagrangiano y hamiltoniano,
esto es,
φQ : U ⊂ R k → Q
ψ(U)
es solución de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange si, y sólo si,
F L ◦ φ [1]
Q : U ⊂ Rk → R k × (T 1 k ) ∗ Q
es solución de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl.