Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.4.1 Elementos geométricos. 199
Denotaremos por k
⊕ E ∗ la suma de Whitney de k copias del fibrado vectorial
E ∗ , dual del algebroide de Lie E, esto es,
k
⊕ E ∗ = E ∗ ⊕ k
. . . ⊕E ∗ .
Así los elementos de k
⊕ E ∗ vienen dados por k-tuplas
a ∗ q = (a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q)
de elementos de la fibra E ∗ q de E ∗ sobre un mismo punto q ∈ Q.
Denotaremos por τ ∗ : k
⊕ E ∗ → Q la proyección canónica definida por
τ ∗ (a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) = q .
Dado un sistema local de coordenadas (qi , yα)1≤i≤n, 1≤α≤m en un conjunto abierto
(τ ∗ ) −1 (U) ⊂ E ∗ , siendo (qi )1≤i≤n las coordenadas en un abierto U de la variedad
base Q, se define el sistema de coordenadas locales (qi , yA α )1≤i≤n, 1≤α≤m, 1≤A≤k en
(τ ∗ ) −1 (U) ⊂ k
⊕ E ∗ como sigue:
q i (a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) = q i (q), y A α (a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) = yα(aA ∗ q) , (5.57)
en donde (a1 ∗ q, . . . , ak ∗ q) ∈ k
⊕ E ∗ . Estas coordenadas dotan a k
⊕ E ∗ de una estructura
de variedad diferenciable de dimensión n + km.
B. La prolongación de E mediante τ ∗ : k
⊕ E ∗ → Q.
En la sección 5.2 hemos recordado la definición de la prolongación de un algebroide
de Lie E mediante una fibración. Para el desarrollo de la formulación ksimpléctica
hamiltoniana en algebroides de Lie vamos a considerar el caso particular
de prolongación en el que
y la fibración es
P = k
⊕ E ∗ = E ∗ ⊕ k
. . . ⊕E ∗
τ ∗ : k
⊕ E ∗ → Q ,