Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

102 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
muestra que las ecuaciones de campo lagrangianas no-holonómicas (3.7) se escriben
en este caso particular como sigue:
k ∂
∂tA
∂L
t
A=1
∂v i
A
φ (1) (t)
− ∂L
∂q i
φ (1) (t)
∂φi
(ϕαA )i(φ(t))
∂tA
t
= λ αA (ϕαA )i(φ(t)) (i = 1, . . . , n) ,
= 0, (1 ≤ αA ≤ mA , 1 ≤ A ≤ k, 1 ≤ i ≤ n) .
Observación 3.19 En el caso particular k = 1, estas ecuaciones coinciden con
las ecuaciones del movimiento de la mecánica no holonómica, (véase por ejemplo,
[8, 75]).
B. La subvariedad de ligaduras M = D⊕ k . . . ⊕D.
A continuación vamos a considerar el caso particular en el que las k distribuciones
son iguales entre sí. Este caso tiene especial interés ya que nos permite extender
el estudio realizado por Bates y Sniatychi [8], en la Mecánica no-holonómica con
ligaduras lineales, a la formulación k-simpléctica de las ecuaciones de campos noholonómicos.
Sea D una distribución en Q. Ahora consideramos la descripción realizada en
el apartado A cuando D1 = . . . = Dk = D. Como antes, si suponemos que D
ha sido definida por la anulación de m funciones independientes ϕα en Q, donde
ϕα(vq) = (ϕα)iv i , entonces la subvariedad de ligaduras
M = D⊕ k . . . ⊕D
está formada por las k-tuplas (v1q, . . . , vkq) de vectores tangentes a Q que son solución
del sistema formado por las mk ecuaciones
Φ A α(v1q, . . . , vkq) = (ϕα)i v i A = 0 , 1 ≤ α ≤ m, 1 ≤ A ≤ k .
Denotaremos por Dv la distribución en T 1 k Q definida localmente por
(D v ) 0 = 〈(τ k Q) ∗ ϕα〉α=1,...,m ,
⋄