Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

214 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
Observación 5.50 Cuando se considera el algebroide de Lie E = T Q la transformación
de Legendre aquí definida coincide con la transformation de Legendre
introducida por Günther en [56].
La transformación de Legendre, Leg, induce una aplicación
T E Leg : T E ( k
⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E) → T E ( k
⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E ∗ )
definida como sigue:
T E Leg(aq, vbq) =
aq, (Leg)∗(bq)(vbq) ,
donde aq ∈ Eq, bq ∈ k
⊕ E y (aq, vbq) ∈ TE ( k
⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E). Nótese que el
siguiente diagrama es commutativo
y así T E Leg está bien definida.
k
Leg
k
⊕ E
⊕ E
τ
∗
τ ∗
Q
La expresión local de TELeg respecto a las coordenadas locales de TE ( k
⊕ E) y
TE ( k
⊕ E ∗ ), (véase (5.23) y (5.59)), es la siguiente:
T E Leg(q i , y α A, z α , w β
B ) = (qi , ∂L
∂y α A
, z α , z α ρ i α
∂ 2 L
∂q i ∂y γ
C
+ w β
B
∂ 2 L
∂y γ
C ∂yβ
B
⋄
) . (5.76)
Teorema 5.51 El par (T E Leg, Leg) es un morfismo entre los algebroides de Lie
(TE ( k
⊕ E), ρτ , [·, ·] τ ) y (TE ( k
⊕ E∗ τ ∗ τ ∗
), ρ , [·, ·] ). Además si ΘA L y ΩAL (respectivamente,
ΘA y ΩA ) son las secciones de Poincaré-Cartan asociadas a una función
lagrangiana L: k
⊕ E → R (respectivamente, las secciones de Liouville en TE ( k
⊕ E∗ )),
entonces
(T E Leg, Leg) ∗ Θ A = Θ A L, (T E Leg, Leg) ∗ Ω A = Ω A L , 1 ≤ A ≤ k . (5.77)