Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

62 2 Simetrías y Leyes de conservación
Como corolario del Teorema de Noether 2.24 se tiene la siguiente versión para
las simetrías infinitesimales de Cartan naturales:
Corolario 2.27 Si ZC ∈ X(T 1 k Q) es una simetría de Cartan infinitesimal natural
de un sistema lagrangiano k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL), entonces las funciones
definen a ley de conservación en Up.
Demostración:
En este caso, se tiene
F A = Z VA (L) − ζ A , 1 ≤ A ≤ k,
ı Z Cθ A L = θ A L(Z C ) = dL ◦ J A (Z C ) = dL(Z VA ) = Z VA (L) ,
y por tanto las funciones F 1 , . . . , F k de la Proposición 2.23 son en este caso
F A = Z VA (L) − ζ A , 1 ≤ A ≤ k (salvo constantes).
Ahora, aplicando el Teorema de Noether 2.13 se obtiene que estas funciones
definen una ley de conservación de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange.
Observación 2.28 El caso k = 1 se corresponde con la Mecánica lagrangiana
Autónoma, y los resultados anteriores, reescritos para este caso particular, se pueden
encontrar en diversos trabajos entre los que podemos citar a Crampin [30].
Con el fin de establecer otro corolario del Teorema de Noether 2.24 introducimos
la siguiente generalización del llamado operador de Tulczyjew (véase [132]): Sea
g = (g 1 , . . . , g k ) : Q → R k una k-tupla de funciones, definimos el siguiente operador
dT g: T 1 k Q → R
y con expresión local
(v1q, . . . , vkq) ↦→ dT g(v1q, . . . , vkq) : =
dT g(v1q, . . . , vkq) =
A,i
v i A
∂g A
∂q i
k
vAq(g A )
A=1
q
⋄
(2.30)
. (2.31)