Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

84 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
B. Descripción geométrica de las ecuaciones de campo lagrangianas no-holonómicas.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
k
ıXAωA L − dEL ∈ 〈η B
α 〉 , XA
∈ T M, 1 ≤ A ≤ k (3.8)
M
A=1
a lo largo de M, donde X = (X1, . . . , Xk) es un campo de k-vectores en T 1 k Q definido
a lo largo de M, esto es, el siguiente diagrama es conmutativo:
M
T 1 k (T 1 k Q)
τ k
T 1 k Q
X
T 1 k Q
Se verifica el siguiente resultado que nos permite denominar a las ecuaciones
(3.8) como ecuaciones geométricas lagrangianas no-holonómicas.
Proposición 3.4 Sea X = (X1, . . . , Xk) un campo de k-vectores en T 1 k Q definido
a lo largo de M, integrable y solución de (3.8). Entonces
(i) X = (X1, . . . , Xk) es un sopde.
(ii) Si φ (1) (t) = (φ i (t), ∂φ i /∂t A (t)) es una sección integral de X entonces φ es
solución de las ecuaciones de campo lagrangianas no-holonómicas (3.7).
Demostración:
Sea X = (X1, . . . , Xk) un campo de k-vectores en T 1 k Q definido a lo largo de M,
integrable y solución de (3.8). Teniendo en cuenta que ηB α = ηB α idqi , (véase (3.2)) se
obtiene que la primera ecuación de (3.8) se puede escribir como sigue:
donde EL = ∆L − L.
k
A=1
ıXA ωA L − dEL = λ α B η B α i dqi , (3.9)