Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

94 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
=
[ i ξ(φ(t))]Q (φ(t))
+ ∂φj
∂tA
=
t
∂ [ ξ(φ(t))]Q
∂q j
[ i ξ(φ(t))]Q (φ(t))
k
A=1
i
∂
∂tA
∂L
∂L
∂vi
A φ (1) (t)
φ(t) ∂vi
A Φ (1) (t)
k
A=1
∂
∂tA
∂L
∂vi
A φ (1) (t)
+
[ i ξ(φ(t))]Q (φ(t))λ α Aη A α i(φ ( 1)(t))
+ ∂φj
∂tA
t
∂ [ ξ(φ(t))]Q
∂q j
i
∂L
φ(t) ∂vi
A Φ (1) (t)
donde en la última igualdad hemos utilizado que el segundo sumando es nulo como
consecuencia de ξ(φ(t)) ∈ g F .
Teniendo en cuenta que
∂
∂t A
[ i ξ(φ(t))]Q (φ(t)) ∂L
∂vi
A φ (1) (t)
= ∂
∂tA
+ [ ξ(φ(t))]Q
[
i ∂L
ξ(φ(t))]Q (φ(t))
i
(φ(t)) ∂
∂t A
∂L
sustituyendo en la expresión final de 0 = ξC Q (L) obtenemos los que sigue:
0 =
−
=
=
k ∂
∂t
A=1
A
[ i ξ(φ(t))]Q (φ(t)) ∂L
∂vi
A φ (1) (t)
∂
∂tA [
i ∂L
ξ(φ(t))]Q (φ(t))
∂vi
+
A φ (1) (t)
∂φj
∂tA
∂ [
t
i ξ(φ(t))]Q
∂qj
k ∂
∂tA
(J nh ) A ξ (φ (1)
(t)) − [(
∂
ξ ◦ φ)∗(t)
∂tA i
]Q (φ(t))
t
∂L
A=1
k
A=1
∂
∂tA
(J nh ) A ξ (φ (1)
(t)) −
k
ı
A=1
( ξ◦φ)∗(t)
⎛
⎝ ∂
∂tA
⎞
⎠
t
θ A L(φ (1) (t))
∂vi
A φ (1) (t)
∂vi
A φ (1) (t)
∂L
φ(t) ∂vi
A Φ (1) (t)
∂vi
A Φ (1) (t)
obteniendo así el resultado buscado. En esta última cadena de identidades hemos
utilizado la definición (3.17) de (J nh ) A ξ y la identidad
∂
∂tA
[ i
ξ(φ(t))]Q (φ(t)) = [( ξ ◦ φ)∗(t)( ∂
∂tA
)]Q
t
i
(φ(t)) + ∂φj
∂tA
t
∂ [ ξ(φ(t))]Q
∂q j
i
,
φ(t) ,