Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

364 A Simetrías y leyes de conservación
cimos
k ∂(F L ◦ Φ ◦ φ
A=1
(1) ) m A
∂tA k ∂(F L ◦ Φ ◦ φ
−
t
A=1
(1) ) i A
∂tA
∂Φ
t
i
∂ql
∂(Φ
φ (1) (t)
−1 ) l
∂qm
∂
= {−
2L ∂qj ∂vi
∂Φ
A Φ(t)
j
∂ql
+
φ (1) (t)
∂2L ∂v j
B∂vi
∂Φ
Φ(t)
A
j
B
∂ql
(
φ (1) (t)
∂Φi
∂qk
∂H
φ (1) (t) ∂pA k
− ∂H
∂pA
) +
i F L(Φ(φ (1) (t)))
∂H
∂qj
∂Φ
F L(Φ(φ (1) (t)))
j
∂ql
}
φ (1) (t)
∂(Φ−1 ) l
∂qm
Φ(t)
∂
+
2L i
∂Φ
Φ(t) ∂qk
∂H
−
φ (1) (t) F L(φ (1) (t))
∂H
∂pA
−
i F L(Φ(φ (1) (t)))
∂H
∂qm
∂q m ∂v i A
∂p A k
Φ(t)
F L(φ (1) (t))
F L(Φ(φ (1) (t)))
Finalmente, a partir de la última igualdad se observa que comprobar (b) es
equivalente a probar
0 = {
−
−
+
−
k
A=1
∂(F L ◦ Φ ◦ φ (1) ) i A
∂t A
t
∂Φ i
∂q l
φ (1) (t)
∂2L ∂qj ∂vi ∂Φ
A Φ(t)
j
∂ql +
φ (1) (t)
∂2L ∂v j
B∂vi
Φ(t)
A
∂H
∂pA
) +
i F L(Φ(φ (1) (t)))
∂H
∂qj
∂Φ
F L(Φ(φ (1) (t)))
j
∂ql ∂ 2 L
∂qm∂v i
A Φ(t)
i ∂Φ
∂qk
∂H
φ (1) (t) ∂pA k
∂Φ j
∂q l
B
φ (1) (t)
φ (1) (t)
−
F L(φ (1) (t))
∂H
∂pA i
Para finalizar demostraremos la igualdad anterior.
{
k
A=1
− ∂H
∂pA i
∂
+
2L ∂(F L ◦ Φ ◦ φ (1) ) i A
∂t A
t
∂Φ i
∂q l
φ (1) (t)
( ∂Φi
∂qk
} ∂(Φ−1 ) l
∂qm
Φ(t)
F L(Φ(φ (1) (t)))
( ∂Φi
∂qk
} ∂(Φ−1 ) l
∂qm
Φ(t)
∂H
φ (1) (t) ∂pA
k
F L(φ (1) (t))
∂2L ∂qj ∂vi
∂Φ
A Φ(t)
j
∂ql +
φ (1) (t)
∂2L ∂v j
B∂vi
∂Φ
Φ(t)
A
j
B
∂ql ∂H
φ (1) (t)
φ (1) (t) ∂pA
k
F L(φ (1) (t))
) +
F L(Φ(φ (1) (t)))
∂H
∂qj
∂Φ
F L(Φ(φ (1) (t)))
j
∂ql
φ (1) (t)
∂qm∂v i i
∂Φ
A Φ(t) ∂qk
∂H
φ (1) (t) ∂pA
−
k
F L(φ (1) (t))
∂H
∂pA
i F L(Φ(φ (1) (t)))