Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

184 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
A partir de estas dos expresiones locales obtenemos:
τ k,A
k
⊕E
( Φ(t), Φ (1) (t)) = (φ i (t), φ α A(t), ∂φi
∂tA
t
, ∂φα B
∂t A
De la definición (5.22) de T E ( k
⊕ E) sabemos que
si, y sólo si,
τ k,A
k
⊕E
o equivalentemente
( Φ(t), Φ (1) (t)) = (prA( Φ(t)), Φ∗(t)( ∂
∂tA
ρ(prA(
Φ(t))) = T Φ(t) τ Φ∗(t)
∂
∂tA
ρ i αφ α A = ∂φi
.
∂tA t
) , 1 ≤ A ≤ k .
t
)) ∈ [T E ( k
⊕ E)] Φ(t)
t
) ,
Esta última condición se verifica por ser Φ : T R k → E morfismo de algebroides
de Lie, véase la ecuación (5.47).
Proposición 5.34 Sea L : k
⊕ E → R una función lagrangiana y Φ : T Rk → E
morfismo de algebroides de Lie con aplicación asociada Φ : Rk → k
⊕ E. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
(1) Φ satisface el sistema de ecuaciones
k
ı k,A
[τ
A=1
k
⊕E
( Φ(t), Φ (1) (t))] ΩA L( Φ(t)) = dEL( Φ(t)) , ∀t , 1 ≤ A ≤ k , (5.48)
donde [τ k,A
( Φ(t), Φ (1) (t))] ∈ [TE ( k
⊕ E)] Φ(t) como hemos comprobado en el lema
k
⊕E
anterior. Recordemos que d = d TE ( k
⊕E) .