Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

128 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
Lema 4.14 Sea Γ un campo de tensores de tipo (1, 1) en T 1 k Q verificando
J A ◦ Γ = −J A y Γ ◦ J A = J A , 1 ≤ A ≤ k .
Entonces, Γ es una estructura casi-producto, esto es,
Γ 2 = I
donde I es el tensor identidad de tipo (1, 1) en T 1 k Q.
Demostración:
Se verifica
Γ 2 ◦ J A = Γ ◦ Γ ◦ J A = Γ ◦ J A = J A .
Por otra parte, para cada campo de vectores Z en T 1 k Q se verifica
entonces
J A (ΓZ) = −J A (Z)
J A (Γ(Z) + Z) = 0,
esto es, el campo de vectores Γ(Z) + Z es vertical, por lo que se puede escribir como
sigue:
k
Γ(Z) + Z = J B (WB),
B=1
donde W1, . . . , Wk son campos de vectores en T 1 k Q. De este modo obtenemos
Γ 2 (Z) = Γ(Γ(Z)) = Γ(−Z +
= −Γ(Z) +
k
J B (WB)) = −Γ(Z) +
B=1
k
J B (WB) = Z ,
B=1
k
Γ(J B (WB))
donde Z denota un campo de vectores arbitrario en T 1 k Q, entonces Γ2 = I.
Proposición 4.15 La existencia de una conexión de Ehresmann (conexión nolineal)
N en T 1 k Q es equivalente a la existencia de un campo de tensores Γ en T 1 k Q
de tipo (1, 1) verificando
B=1
J A ◦ Γ = −J A y Γ ◦ J A = J A , 1 ≤ A ≤ k . (4.19)