Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.3 Formalismo lagrangiano. 185
(2) Φ es solución del siguiente sistema de ecuaciones en derivadas parciales:
k
A=1
d
dtA
∂L
∂yα
A
= ρ i α
∂φ i
∂t A = φα A ρi α ,
∂L
+ φβ
∂qi ∂L
CCγ βα
∂y γ
C
0 = ∂φα A
∂t B − ∂φα B
∂t A + Cα βγφ β
B φγ
A .
(5.49)
Observación 5.35 Nótese que si E es el algebroide de Lie estándar T Q entonces las
ecuaciones (5.49) son las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange (1.44) del formalismo
k-simpléctico estándar. Así, denominaremos a estas ecuaciones las ecuaciones
de campo de Euler-Lagrange en algebroides de Lie.
Demostración:
Sean (qi , yα )1≤i≤n, 1≤α≤m un sistema de coordenadas locales adaptadas en E,
(qi , yα A )1≤i≤n, 1≤α≤m, 1≤A≤k el sistema local inducido en k
⊕ E, {eα}1≤α≤m una base
local de secciones de τ : E → Q, {eA}1≤A≤k
τRk : T R
una base local de secciones de
k → Rk .
En estos sistemas locales de coordenadas escribimos la expresión local de la
aplicación Φ asociada a un morfismo de algebroides de Lie Φ como sigue:
Φ(t) = (φ i (t), φ α A(t)).
Considerando {Xα, VB β } una base local de secciones de TE ( k
⊕ E) → k
⊕ E se obtiene
la siguiente expresión
τ k,A
k
⊕E
( Φ(t), Φ (1) (t)) = φ α A(t)Xα( Φ(t)) + ∂φβ B
∂tA
V
t
B β ( Φ(t)) , 1 ≤ A ≤ k
⋄