Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

44 2 Simetrías y Leyes de conservación
2.1.1. Simetrías y leyes de conservación.
La finalidad de esta subsección es definir los conceptos de simetrías y leyes de
conservación de las ecuaciones de campo de Hamilton-De Donder-Weyl (1.13).
Comenzamos introduciendo la noción de ley de conservación para el sistema
hamiltoniano k-simpléctico ((T 1 k )∗ Q, ω A , H). Siguiendo a Olver, véase [114], introducimos
la siguiente definición :
Definición 2.1 Una ley de conservación (o una cantidad conservada) para
las ecuaciones de campo de Hamilton-de Donder-Weyl (1.13) es una aplicación
tal que la divergencia de
F = (F 1 , . . . , F k ): (T 1 k ) ∗ Q → R k
F ◦ ψ = (F 1 ◦ ψ, . . . , F k ◦ ψ): U0 ⊂ R k
ψ
1 (Tk ) ∗Q F
k R
es cero, para cada solución ψ de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl (1.13),
es decir,
k
A=1
∂(F A ◦ ψ)
∂t A = 0 . (2.1)
La siguiente proposición muestra una diferencia entre los resultados de la Mecánica
Clásica y las Teorías de Campos k-simplécticos, (véase observación 2.3).
Proposición 2.2 Si F = (F1 , . . . , Fk ): (T 1 k )∗Q → Rk es una ley de conservación
entonces para cada campo de k-vectores integrable X = (X1, . . . , Xk) en Xk H ((T 1 k )∗Q), se verifica
k
LXAFA = 0 . (2.2)
Demostración:
A=1
Sea X = (X1, . . . , Xk) ∈ X k H ((T 1 k )∗ Q) un campo de k-vectores hamiltoniano e
integrable y ψ: U0 ⊆ R k → (T 1 k )∗ Q una sección integral of X entonces: