Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.1 Elementos geométricos. 159
5.3.1. Elementos geométricos.
En esta subsección vamos a describir los elementos geométricos que son necesarios
para desarrollar el formalismo lagrangiano k-simpléctico en algebroides de Lie.
A. La variedad k
⊕ E.
La formulación k-simpléctica de las de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange,
descrita en el Capítulo 1, se desarrolla en el fibrado tangente de las k1- velocidades
de una variedad Q, esto es, en T 1 k Q, la suma de Whitney de k copias del fibrado
tangente.
Si pensamos un algebroide de Lie E como un sustituto del fibrado tangente, es
natural pensar que, en esta situación, la suma de Whitney de k copias del algebroide
va a jugar el papel de T 1 k Q.
Denotaremos por k
⊕ E la suma de Whitney de k copias del algebroide de Lie E,
esto es,
k
⊕ E = E⊕ k . . . ⊕E .
Así los elementos de k
⊕ E vienen dados por k-tuplas aq = (a1q, . . . , akq) de
elementos de la fibra Eq de E sobre un mismo punto q ∈ Q, donde recordemos que
Q es la variedad base del fibrado que define el algebroide E.
Denotaremos por τ: k
⊕ E → Q la proyección canónica definida por
τ(a1q, . . . , akq) = q .
A continuación vamos a describir un sistema local de coordenadas en k
⊕ E.
Sea (q i , y α )1≤i≤n, 1≤α≤m un sistema de coordenadas locales en un abierto τ −1 (U)
de E, siendo (q i )1≤i≤n las coordenadas en un abierto U de la variedad base Q.
Definimos el sistema de coordenadas locales
en τ −1 (U) ⊂ k
⊕ E como sigue:
(q i , y α A)1≤i≤n, 1≤α≤m, 1≤A≤k
q i (a1q, . . . , akq) = q i (q), y α A(a1q, . . . , akq) = y α (aAq) , (5.21)