Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

60 2 Simetrías y Leyes de conservación
Demostración:
Es análoga a la demostración de la Proposición 2.11.
Ahora podemos afirmar una versión del Teorema de Noether para simetrías de
Cartan lagrangianas infinitesimales.
Teorema 2.24 (Teorema de Noether): Sea Y ∈ X(T 1 k Q) una simetría de Cartan
infinitesimal de un sistema lagrangiano k-simplético (T 1 k Q, ωA L , EL), entonces para
cada p ∈ T 1 k Q, existe un entorno abierto Up del punto p, tal que las funciones
F A = ıY θ A L − ζ A , 1 ≤ A ≤ k,
definen una ley de conservación F = (F 1 , . . . , F k ) de las ecuaciones de Euler-
Lagrange (1.44).
Demostración:
Sea Y ∈ X(T 1 k Q) una simetría de Cartan infinitesimal, con expresión local
Y = Y
i ∂
∂q i + Y i A
Entonces de (2.25), como Y es una simetría de Cartan infinitesimal se tiene
∂ 2 L
∂q k ∂v i A
− ∂2L ∂qi∂v k
Y
A
i − Y i B
∂ 2 L
∂v k B ∂vi A
∂
∂v i A
Y i = ∂FA
∂v k B
.
∂ 2 L
∂v i B ∂vk A
= ∂FA
∂q k
(2.27)
. (2.28)
Por otra parte, puesto que Y es una simetría infinitesimal, se verifica LY EL = 0
de donde obtenemos
i ∂L
Y
∂qi = vk
B Y i ∂2L ∂qi∂v k + Y
B
i ∂
A
2L ∂vi A∂vk
. (2.29)
B