Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.3 Formalismo lagrangiano: ecuaciones de Euler - Lagrange. 255
Localmente, si f(t A , q i ) = (f A
R k(t B ), f i (t B , q j )) entonces
j 1 f(t A , q i , v i A) = (f A (t B ), f i (t B , q j ),
donde df i /dt B denota la derivada total, esto es,
df i
dt
∂t
B = ∂f i
+ vj
B B
df i
dt B
∂f i
.
∂qj ∂(f −1
R k ) B
∂t A
◦ f R k(t C )) ,
Es evidente que si consideramos otro representante ϕ con el mismo 1-jet en t
obtenemos el mismo resultado, esto es, j 1 f está bien definido.
Teniendo en cuenta la definición anterior se introduce el levantamiento natural
de campos de vectores de Rk × Q a Rk × T 1 k Q como sigue:
Definición 6.27 Sea Z ∈ X(R k ×Q) un campo de vectores ˆπ R k-proyectable. Se llama
levantamiento natural de Z a R k ×T 1 k Q, al campo de vectores Z1 ∈ X(R k ×T 1 k Q)
tal que, tiene asociado el grupo uniparamétrico local de difeomorfismos {j 1 τs}s∈R,
con {τs}s∈R el grupo uniparamétrico local de difeomorfismos de Z.
Localmente, si cada campo de vectores Z ∈ X(Rk ×Q) tiene la siguiente expresión
local,
A ∂ ∂
Z = Z + Zi ,
∂tA ∂qi entonces
Z 1 A ∂ ∂
= Z + Zi + (dZi
∂tA ∂qi donde d/dt A denota la derivada total, esto es,
d ∂
=
dtA ∂t
+ vj
A A
dt A − vi B
∂
∂qj dZ B ∂
)
dtA ∂vi ,
A
Sea φ = (id R k, φQ) : R k → R k × Q es una sección de ˆπ R k y φ [1]
Q
prolongación, puesto que Ldkt es una k-forma en Rk × T 1 k
es una k-forma en Rk . Así podemos definir:
su primera
Q, entonces (φ[1]
Q )∗ (Ld k t)