Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

2.1.1 Simetrías y leyes de conservación. 47
se verifica que
k
A=1
∂(Φ ∗ F A ◦ ψ)
∂t A
=
k
A=1
∂(F A ◦ Φ ◦ ψ)
∂t A
en donde en la última igualdad hemos utilizado que F es ley de conservación y Φ ◦ ψ
es solución de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl (1.13), (esto último es
consecuencia de ser Φ simetría y ψ solución de las ecuaciones antes mencionadas).
Hay un tipo de simetrías que juegan un papel relevante como generadores de
leyes de conservación, a continuación introduciremos este tipo de simetrías:
= 0
Proposición 2.7 Sea Φ: (T 1 k )∗ Q → (T 1 k )∗ Q un difeomorfismo. Si
Φ ∗ ω A = ω A , 1 ≤ A ≤ k y Φ ∗ H = H (salvo constantes).
entonces Φ es una simetría del sistema hamiltoniano k-simpléctico ((T 1 k )∗ Q, ω A , H).
Demostración:
A continuación mostraremos un esquema de la demostración que incluye los pasos
a seguir. La demostración detallada se puede encontrar en el apéndice A.
Tenemos que probar lo siguiente:
Si ψ: U0 ⊂ R k → (T 1 k )∗ Q es una solución de las ecuaciones de Hamiltonde
Donder-Weyl (1.13), entonces Φ ◦ ψ también lo es, esto es,
(a)
(b)
∂H
∂q i
∂H
∂p A i
(Φ◦ψ)(t)
(Φ◦ψ)(t)
= −
k
A=1
= ∂(qi ◦ Φ ◦ ψ)
∂t A
∂(p A i ◦ Φ ◦ ψ)
∂t A
Consideremos un sistema local de coordenadas (q i , p A i )1≤i≤n,1≤A≤k en (T 1 k )∗ Q de
modo que el difeomorfismo Φ: (T 1 k )∗ Q → (T 1 k )∗ Q lo escribimos localmente como
sigue:
Φ(q j , p B j ) = (Φ i (q j , p B j ), Φ A i (q j , p B j )) .
t
.
t
,