Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.3 Formalismo lagrangiano. 181
Considerando
{eA}1≤A≤k
una base local de secciones de τ R k, podemos definir una aplicación
asociada a Φ y dada por:
Φ : R k → k
⊕ E
Φ : R k → k
⊕ E ≡ E⊕ k
. . . ⊕E
t → (Φ(e1(t)), . . . , Φ(ek(t))) .
Observación 5.30 En el caso particular E = T Q y ρ = idT Q se verifica: Φ =
(T φ, φ), eA = ∂/∂t A la aplicación Φ se corresponde con la primera prolongación de
la φ : R k → Q, esto es,
Φ = φ (1) .
Observación 5.31 Denotaremos por Φ : T R k → E un morfismo de algebroides de
Lie Φ = (Φ, Φ) entre τ R k : T R k → R k y τ : E → Q.
Ahora vamos a escribir las expresiones locales del morfismo de algebroides de Lie
y su aplicación asociada.
Sean
(t A )1≤A≤k y (q i )1≤i≤n
dos sistemas locales de coordenadas en R k y Q, respectivamente. Sea
{eA}1≤A≤k
una base local de secciones de τ R k: T R k → R k y
{eα}1≤α≤m
una base local de secciones de τ : E → Q. Además denotamos por
{e A }1≤A≤k y {e α }1≤α≤m
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