Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. 175
De (5.36) obtenemos que el campo de k-vectores en k
⊕ E,
(ρ τ (ξ1), . . . , ρ τ (ξk)) ,
asociado a ξ por medio del ancla ρ τ : Sec(T E ( k
expresión local:
ρ τ (ξA) = ρ i αy α A
∂
∂
∂qi + (ξA) α B
∂yα B
⊕ E)) → X( k
⊕ E), tiene la siguiente
∈ X( k
⊕ E), 1 ≤ A ≤ k . (5.38)
Por último, sabemos que en el formalismo lagrangiano k-simpléctico estándar las
secciones integrales de ciertos sopde’s son soluciones de las ecuaciones de campo
de Euler-Lagrange.
A continuación vamos a introducir, en el contexto que nos proporcionan los
algebroides de Lie, el concepto de sección integral de un sopde.
Definición 5.26 Una aplicación
η : R k → k
⊕ E
se llama sección integral del sopde ξ, si η es una sección integral del campo de
k-vectores (ρ τ (ξ1), . . . , ρ τ (ξk)), asociado a ξ, esto es,
(ρ τ
∂
(ξA))(η(t)) = η∗(t)
∂tA
, 1 ≤ A ≤ k , (5.39)
t
es decir, para cada A = 1, . . . , k el siguiente diagrama es conmutativo:
k
Rk
η
∂
∂tA ⊕ E
ξA k
E T ( ⊕ E)
ρτ
k T R
η∗≡T η
k
T ( ⊕ E)
Si η : R k → k
⊕ E se expresa localmente como sigue
η(t) = (η i (t), η α A(t)),