Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

58 2 Simetrías y Leyes de conservación
Además se tiene
∂(F L ◦ Φ ◦ φ (1) ) l
∂tA
t
= ∂Φl
∂q j
φ (1) (t)
∂φj ∂tA
t
+ ∂Φl
∂v j
B
y así de (2.22) y (2.23) obtenemos el apartado (a) de (2.14).
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
(2.23)
Finalmente, de (2.15), (2.16), (2.18-2.21) y (2.23), por un cálculo directo, se
obtiene
+
k
A=1
∂(F L ◦ Φ ◦ φ (1) ) m A
∂t A
∂ 2 L
∂qm∂v i
A (Φ◦φ (1) )(t)
= −
t
∂H
∂qm
(1) i
∂(F L ◦ Φ ◦ φ )
∂tA
(F L◦Φ◦φ (1) )(t)
t
− ∂H
∂p A i
(F L◦Φ◦φ (1) )(t)
(2.24)
y puesto que ya se tiene probado el apartado (a) de (2.14) , de (2.24) y (a) se obtiene
el apartado (b) de (2.14), finalizando así la demostración buscada.
Esta proposición nos proporciona un ejemplo de simetrías del sistema lagrangiano
k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL).
2.2.2. Simetrías de Cartan y Teorema de Noether.
Teniendo en cuenta la última proposición de la subsección anterior introducimos
la siguiente definición.
Definición 2.21 Sea L : T 1 k Q → R un lagrangiano regular.
(1) Una simetría de Cartan (o Noether) lagrangiana o del sistema lagrangiano
k-simpléctico (T 1 k Q, ωA L , EL) es un difeomorfismo Φ: T 1 k Q → T 1 k Q tal
que,
a) Φ∗ωA L = ωA L , para A = 1, . . . , k.
b) Φ∗EL = EL (salvo constantes).
Si una simetría de Cartan Φ es el levantamiento canónico a T 1 k Q de algún
difeomorfismo f: Q → Q, esto es Φ = T 1 k f, entonces Φ se dice simetría de
Cartan natural.