Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.4.2 Formalismo hamiltoniano. 207
Observación 5.45
(1) Si reescribimos las definiciones anteriores en el caso particular k = 1 obtenemos
las secciones de Liouville de la Mecánica hamiltoniana en algebroides de Lie.
Véase los trabajos de E. Martinez, por ejemplo, [24, 96].
(2) Si consideramos el caso particular E = T Q y ρ = idT Q, entonces
Ω A (X, Y ) = ω A (X, Y ) , 1 ≤ A ≤ k
donde X, Y son campos de vectores en (T 1 k )∗ Q y ω 1 , . . . , ω k denotan las 2formas
canónicas del formalismo k-simpléctico estándard, (que han sido definidas
en (1.31)).
5.4.2. Formalismo hamiltoniano.
En esta subsección desarrollaremos el formalismo hamiltoniano k-simpléctico en
algebroides de Lie y veremos que la Mecánica hamiltoniana en algebroides de Lie y
el formalismo hamiltoniano estándar son casos particulares del aquí desarrollado.
A. Ecuaciones de Hamilton en algebroides de Lie.
Una función H: k
⊕ E ∗ → R la denominamos función hamiltoniana o hamiltoniano.
El siguiente teorema es la versión, en algebroides de Lie, del Teorema 1.23, que
resume la formulación hamiltoniana k-simpléctica estándar.
Teorema 5.46 Sea H : k
⊕ E ∗ → R un hamiltoniano y
una sección de τ k k
⊕E ∗
ξ = (ξ1, . . . , ξk) : k
⊕ E ∗ → (T E ) 1 k( k
⊕ E ∗ )
tal que
k
A=1
donde, recordemos que d = d TE ( k
⊕E ∗ )
ıξA ΩA = dH , (5.70)