Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.1.2 La función energía lagrangiana. 279
donde d/d A denota la derivada total, esto es,
d ∂
=
dtA ∂t
+ vj
A A
∂
.
∂qj Recordemos que la función energía lagrangiana en la formulación k-cosimpléctica
estándar es EL = ∆L − L con expresión local
∂L
EL = v i A
∂vi A
− L .
Uno puede también definir intrínsicamente la función energía lagrangiana como
sigue.
Consideremos la conexión trivial ∇0, los campos
YA =
∂
∂t A
H
= ∂
, 1 ≤ A ≤ k
∂tA asociados a esta conexión y el levantamiento Y 1 A de cada campo de vectores YA ∈
X(R k × Q) a R k × T 1 k Q.
A partir de las expresiones locales (7.9) y (7.14) de YA y del levantamiento natural
a Rk × T 1 k Q se obtiene que la expresión local de Y 1 A es
Y 1 ∂
A =
∂tA
H
1
∂
=
∂tA 1 ≡ ∂
. (7.15)
∂tA Entonces de la expresión local (7.12) de ΘA L se deduce que EL se puede escribir
como sigue:
k
EL = − ı Θ Y 1
A
A=1
A k
L = − ı ∂
A=1
∂tA Θ A L . (7.16)
De este modo se observa que la energía lagrangiana puede obtenerse como la
contracción de las 1-formas de Poincaré-Cartan con las prolongaciones a R k × T 1 k Q
de los campos de vectores asociados a la conexión trivial.
Consideremos ahora una conexión ∇ distinta de la trivial, en analogía con la
expresión de la energía que acabamos de introducir, definimos la energía lagrangiana
asociada a una conexión ∇ y a un lagrangiano L a partir de los campos de vectores
asociados a la conexión, YA, y las 1-formas de Poincaré-Cartan Θ 1 L , . . . , Θ k L .