Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

294 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
con [(RL) ∇ A ]B, [(RL) ∇ A ]i , [(RL) ∇ A ]iB ∈ C∞ (Rk × T 1 k Q), obtenemos que las ecuaciones
(7.39), que definen los campos de Reeb, son equivalentes a las identidades
y
∂ 2 L
∂t A ∂v k C
+ Γ j
[(RL) ∇ A)] B = δ B A , [(RL) ∇ A)] i = Γ i A , (7.40)
∂ 2 L
A
∂qj ∂vk C
∂L
∂v j
∂Γ
B
j
C ∂Γj
− A
∂t
para todo 1 ≤ A, B, C ≤ k.
+ ∂Γi A
∂q k
∂L
∂v i C
+ [(RL) ∇ A] i B
A
∂t C + Γi ∂Γ
A
j
C
∂q i − ΓiC ∂ 2 L
∂v i B ∂vk C
= 0 (7.41)
∂Γ j
A
∂q i
= 0 , (7.42)
Ahora bien, teniendo en cuenta que, por hipótesis, la curvatura (7.25) de la
conexión es cero, la ecuación (7.42) se verifica trivialmente y por tanto, la expresión
local de los campos de Reeb es, en este caso
donde las funciones [(RL) ∇ A ]i B
(RL) ∇ A = ∂
∂tA + ΓiA ∂
∂qi + [(RL) ∇ A] i B
verifican la ecuación (7.41).
∂
∂v i B
, (7.43)
Observación 7.21 En lo que se refiere a la existencia de los campos de Reeb
(RL) ∇ 1 , . . . , (RL) ∇ k podemos afirmar lo siguiente: por ser el lagrangiano L regular,
de la ecuación (7.41) podemos definir, en un entorno de cada punto, un campo de
k-vectores que verifica (7.39). Posteriormente puede construirse un campo de kvectores
global (RL) ∇ = ((RL) ∇ 1 , . . . , (RL) ∇ k ), el cual es solución de (7.39), usando
particiones de la unidad.
B. Ecuaciones geométricas de Euler-Lagrange asociadas a una conexión llana
En la sección 6.1.2 del capítulo 6, hemos descrito la formulación Hamiltoniana kcosimpléctica
de las teorías clásicas de campos, sobre cualquier variedad k-cosimpléctica.
En la subsección anterior hemos visto como cada conexión llana ∇ nos permite
dotar a la variedad Rk × T 1 k Q de una estructura k-cosimpléctica dependiente, al
menos “a priori ” de dicha conexión.