Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.3 Formalismo lagrangiano. 191
Como ya hemos señalado en la Observación 5.30 la aplicación Φ coincide con
φ (1) .
En el caso estándar una aplicación φ : R k → Q induce un morfismo de algebroides
de Lie Φ = (T φ, φ) entre T R k y T Q. En este caso, la aplicación asociada
Φ a este morfismo coincide con la primera prolongación φ (1) de φ dada por
Φ(t) = (T φ( ∂
∂t1
), . . . , T φ(
t
∂
∂t k
)) = φ
t
(1) (t) .
Así, del teorema 5.37 y las ocho observaciones anteriores, deducimos el siguiente
corolario donde reobtenemos la formulación lagrangiana k-simpléctica estándar,
véase [56, 107, 119] y la sección 1.2.4 del Capítulo 1 de esta memoria.
Corolario 5.39 Sea L : T 1 k Q → R un lagrangiano regular y ξ = (ξ1, . . . , ξk) un
campo de k-vectores en T 1 k Q tal que
Entonces:
(1) ξ es un sopde
k
A=1
ıξA ωA L = dEL .
(2) Si Φ es una sección integral del campo de k-vectores ξ, entonces Φ es una solución
de las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange del formalismo lagrangiano
k-simpléctico estándar, esto es,
k ∂
∂tA
∂L
=
t Φ(t)
∂L
∂q i
Φ(t)
A=1
∂v i A
, v i A( Φ(t)) = ∂(qi ◦ Φ)
∂t A
.
t
La relación entre los elementos geométricos del formalismo k-simpléctico Lagragiano
estándar y en algebroides de Lie, se resume a continuación:
Funciones lagrangianas.
• Algebroides de Lie:
L : k
⊕ E → R.