Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

186 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
y así teniendo en cuenta la expresión local (5.45) de Ω A L
k
ı k,A
τ
A=1
+
k
⊕E
φ β
A (t)(ρi α
− ∂φβ B
∂tA
t
( Φ(t), Φ (1) (t)) ΩA L( Φ(t)) = φ α A(t) ∂2 L
∂ 2 L
∂ 2 L
∂q i ∂y β
A
∂y β
B ∂yα A
Φ(t)
− ρ
Φ(t)
i β
se verifica
V
Φ(t)
β
∂y β
B∂yα B
A
( Φ(t))
∂2L ∂qi∂y α
+ C
Φ(t)
A
γ ∂L
βα
∂y γ
)
Φ(t)
A
X α ( Φ(t)) .
(5.50)
De las expresiones locales (5.27) y (5.46) de df y EL obtenemos, para cada
A = 1, . . . , k,
dEL( Φ(t)) = ρ i α
φ β
A (t) ∂2 L
∂q i ∂y β
A
+ φ α A (t) ∂2 L
∂y β
B ∂yα A
Φ(t)
V
Φ(t)
β
− ∂L
∂qi
X
Φ(t)
α ( Φ(t))
B ( Φ(t)) ,
(5.51)
donde {Xα , V β
B } denota la base dual de la base local {Xα, VB β } de secciones de
τ k
⊕E : TE ( k
⊕ E) → k
⊕ E.
Por lo tanto, de (5.50) y (5.51) obtenemos que Φ : T R k → E es solución de la
ecuación (5.48) si, y sólo si, se verifica
φ β
A ρi ∂
α
2L ∂qi∂y β − ρ
A
i ∂
β
2L ∂qi∂y α + C
A
γ
βα
∂L
∂y γ
A
− ∂φβ B
∂tA ∂2L ∂y β
B∂yα A
φ α A
= ρ i α
φ β
A
∂ 2 L
∂q i ∂y β
A
∂2L ∂y β
B∂yα A
= φα ∂
A
2L ∂y β
B∂yα A
∂φi ∂tA = ρiαφ α A
− ∂L
∂qi
0 = ∂φα A
∂t B − ∂φα B
∂t A + Cα βγ φβ
B φγ
A ,
donde las dos últimas ecuaciones son consecuencia de la condición de morfismo
(5.47). Obsérvese que la segunda ecuación es una identidad y así este sistema de