Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

3.4.4 Ligaduras definidas por conexiones 107
donde Y H denota el levantamiento horizontal a Q de un campo de vectores Y en
M, y Γ α a(q b , q β ) son los símbolos de Christoffel de Γ. Así, obtenemos una base local
de campos de vectores en Q,
{Ha, Vα = ∂
∂q α }1≤a≤n−m, 1≤α≤m .
Su base dual es el conjunto de 1-formas
{ηa = dq a , ϕα = Γ α a dq a + dq α }1≤a≤n−m, 1≤α≤m .
Deducimos que H 0 está localmente generado por las 1-formas {ϕα}.
En esta situación se tiene la siguiente descomposición
T 1 k Q = H⊕ k . . . ⊕H ⊕ V ℘⊕ k . . . ⊕V ℘ ,
y para cada vector vA, 1 ≤ A ≤ k podemos escribir
∂
vA = u a A
∂qa + vα A
∂
∂qα = uaA( ∂
∂q a − Γα a
Definimos la subvariedad de ligaduras
∂
∂q α ) + (ua AΓ α a + v α A) ∂
∂q α = vH A + v V A
M = H⊕ k . . . ⊕H ⊂ T 1 k Q ;
entonces wq = (v1q, . . . , vkq) ∈ M si, y sólo si, vAq ∈ H para todo A = 1, . . . , k, lo
que significa que
v α A = −u a AΓ α a para todo A = 1, . . . , k
Así,
M = {wq ∈ T 1 k Q : v α A = −u a AΓ α a, 1 ≤ A ≤ k}
= {wq ∈ T 1 k Q : ϕα(vAq) = 0, 1 ≤ A ≤ k} .
A partir de las 1-formas ϕα = Γα a dqa +dqα en Q podemos considerar las 1-formas
(τ k Q )∗ϕα en T 1 k Q. Ahora consideramos las ecuaciones
k
A=1
XA
ıXA ωA L − dEL ∈ 〈(τ k Q) ∗ ϕα〉
∈ T M , 1 ≤ A ≤ k .
M
(3.23)