Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.1.1 Fundamentos geométricos. 225
donde σRk : Q σ ˆπ
k Rk R × Q
k R , αAq = dσA Rk(q) y σA Rk : Q σRk
k R
es la A-ésima componente de σ R k, 1 ≤ A ≤ k .
ˆπ A
R
Si (q i )1≤i≤n es un sistema de coordenadas locales en U ⊆ Q, se definen las
coordenadas locales inducidas (t A , q i , p A i )1≤i≤n, 1≤A≤k en [(ˆπQ)1] −1 (U) = R k × (T 1 k )∗ U
como sigue
t A (j 1 qσ) = (σRk(q)) A , q i (j 1 qσ) = q i (q) , p A i (j 1 qσ) = dσ A ∂
Rk(q)( ∂qi
),
q
o equivalentemente
t A (t, α1q, . . . , αkq) = t A (t) = t A ; q i (t, α1q, . . . , αkq) = q i (q);
p A i (t, α1q, . . . , αkq) = αAq( ∂
∂qi
) .
q
Estas coordenadas se llaman coordenadas canónicas de R k × (T 1 k )∗ Q. De
esta manera R k × (T 1 k )∗ Q tiene estructura de variedad diferenciable de dimensión
k + n(k + 1).
B. Formas canónicas en R k × (T 1 k )∗ Q.
En este apartado describiremos ciertos objetos geométricos canónicos en la variedad
R k × (T 1 k )∗ Q. Esto objetos serán utilizados en la descripción k-cosimpléctica
hamiltoniana, véase la sección 6.1.2.
Consideramos en R k × (T 1 k )∗ Q, las formas diferenciales
η A = (ˆπ A 1 ) ∗ dt A , θ A = (ˆπ A 2 ) ∗ θ , ω A = (ˆπ A 2 ) ∗ ω , 1 ≤ A ≤ k (6.1)
donde ω = −dθ = dq i ∧ dpi es la forma simpléctica canónica en T ∗ Q, θ = pi dq i
es la 1-forma de Liouville en T ∗ Q y ˆπ A 1 y ˆπ A 2 denotan las siguientes proyecciones
canónicas:
ˆπ A 1 : R k × (T 1 k )∗ Q → R
(t, α1q, . . . , αkq) → t A
y
ˆπ A 2 : R k × (T 1 k )∗ Q → T ∗ Q
(t, α1q, . . . , αkq) → αAq
Trivialmente se obtiene que ω A = −dθ A .