Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

144 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
5.1. Preliminares sobre algebroides de Lie.
En esta primera sección presentamos los hechos básicos más relevantes sobre
algebroides de Lie, incluyendo resultados sobre cálculo diferencial y morfismos, los
cuales serán necesarios para los desarrollos posteriores. Referimos al lector a [13,
57, 89, 90] para los detalles sobre algebroides de Lie y su papel en la geometría
diferencial.
5.1.1. Definición de algebroide de Lie.
La estructura de algebroide de Lie es una generalización de la estructura de
álgebra de Lie. También puede interpretarse como una generalización del concepto
de fibrado tangente, T Q, de una variedad diferenciable Q.
Recordemos que el fibrado tangente τQ : T Q → Q a la variedad Q es un fibrado
vectorial en el que el espacio de secciones (o campos de vectores) X(Q), está dotado
de una estructura de álgebra de Lie. Estas dos propiedades, junto con una condición
de compatibilidad entre ambas, serán usadas en la definición de algebroide de Lie.
Definición 5.1 Un algebroide de Lie sobre una variedad diferenciable Q es un fibrado
vectorial real τ : E → Q sobre Q junto con un morfismo de fibrados vectoriales
ρ : E → T Q, sobre la identidad en Q, que induce una aplicación entre los espacios
de secciones respectivos, que será denotada por la misma letra ρ : Sec(E) → X(Q),
y una estructura de álgebra de Lie en el espacio de secciones de E,
tales que:
[·, ·]E : Sec(E) × Sec(E) → Sec(E)
(1) ρ : Sec(E) → X(Q) es un homomorfismo de álgebras de Lie, esto es,
ρ([σ1, σ2 ]E) = [ρ(σ1), ρ(σ2)] ,
para cada par de secciones σ1, σ2 ∈ Sec(E).
(2) Para cada función f ∈ C ∞ (Q) y cada par de secciones σ1, σ2 ∈ Sec(E), se
satisface la siguiente condición de compatibilidad
[σ1, fσ2 ]E = f [σ1, σ2 ]E + (ρ(σ1)f)σ2 .