Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

46 2 Simetrías y Leyes de conservación
Definición 2.4
(1) Una simetría del sistema hamiltoniano k-simpléctico ((T 1 k )∗ Q, ω A , H)
es un difeomorfismo
Φ: (T 1 k ) ∗ Q → (T 1 k ) ∗ Q
tal que, para cada solución ψ: U0 ⊂ R k → (T 1 k )∗ Q de las ecuaciones de Hamiltonde
Donder-Weyl (1.13), se tiene que Φ ◦ ψ es también una solución de dichas
ecuaciones.
(2) Una simetría infinitesimal del sistema hamiltoniano k-simpléctico
((T 1 k )∗ Q, ω A , H) es un campo de vectores Y ∈ X((T 1 k )∗ Q) cuyos flujos son
simetrías del sistema hamiltoniano k-simpléctico.
Observación 2.5 En analogía con la Mecánica autónoma, a las simetrías Φ que
son levantamientos canónicos de difeomorfismos f : Q → Q, esto es Φ = (T 1 k )∗ f,
les denominaremos simetrías naturales. De modo análogo diremos que una simetría
infinitesimal Y , de un sistema hamiltoniano k-simpléctico, es natural si Y = Z C∗ ,
esto es, Y es el levantamiento completo a (T 1 k )∗ Q de un campo de vectores Z en Q.
A lo largo de esta memoria no emplearemos este tipo de simetrías.
Una primera consecuencia directa de las definiciones 2.1 y 2.4, de ley de conservación
y simetría de un sistema hamiltoniano k-simpléctico respectivamente, es la
siguiente:
Proposición 2.6 Sea Φ: (T 1 k )∗ Q → (T 1 k )∗ Q una simetría de un sistema hamiltoniano
k-simpléctico. Si F = (F 1 , . . . , F k ): (T 1 k )∗ Q → R k es una ley de conservación
de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl, entonces Φ ∗ F = (Φ ∗ F 1 , . . . , Φ ∗ F k )
también lo es.
Demostración:
Tenemos que probar que la divergencia de Φ ∗ F ◦ ψ se anula para toda solución
ψ de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl (1.13). Ahora bien, teniendo en
cuenta que Φ ∗ F(ψ(t)) = F(Φ(ψ(t))), t ∈ R k
Rk ψ
F
(T 1 k ) ∗ Q
Φ
(T 1 k )∗Q ⋄