Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

68 2 Simetrías y Leyes de conservación
Así, obtenemos
∂
∂t A
∂L1
∂vi
A φ (1) (t)
= ∂2L2 ∂qj ∂vi
A φ (1) (t)
∂φj ∂tA
∂φj ∂tA
= ∂2L1 ∂qj ∂vi +
A φ (1) (t) t
∂2L1 ∂v j
B∂vi ∂
φ (1) (t)
A
2φj ∂tA∂tB
t
+
t
∂2L2 ∂v j
B∂vi
∂
φ (1) (t)
A
2φj ∂tA∂tB
=
t
∂
∂tA
∂L2
∂vi
A φ (1) (t)
Por otra parte, la condición EL1 = EL2 (salvo constantes), implica
∂EL1 ∂EL2
= .
∂qj ∂qj De esta identidad y de la expresión local de la función energía lagrangiana
se deduce
v i ∂
A
2L1 ∂qj ∂vi A
De (2.33) y (2.35) obtenemos
∂L
EL = v i A
∂vi A
− ∂L1
y entonces, de (2.34) y (2.36) se sigue
k
A=1
∂
∂t A
∂L1
∂vi
A φ (1) (t)
− ∂L1
∂q j
− L
∂qj = vi ∂
A
2L2 ∂qj ∂vi A
∂L1 ∂L2
=
∂qj ∂qj φ (1) (t)
=
k
A=1
∂
∂t A
.
(2.34)
− ∂L2
∂q j . (2.35)
∂L2
∂vi
A φ (1) (t)
− ∂L2
∂q j
φ (1) (t)
(2.36)
Por lo tanto φ : R k → Q es una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange
asociadas a L1 si, y sólo si, es solución de las ecuaciones asociadas a L2.
El siguiente Lema nos permitirá caracterizar los lagrangianos gauge equivalentes.
.