Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.1 Elementos geométricos. 243
para cada A = 1, . . . , k . Su expresión local es:
n
∆A =
∂
, 1 ≤ A ≤ k . (6.16)
v
i=1
i A
∂v i A
Teniendo en cuenta las expresiones (6.15) y (6.16) es evidente que
C. Campos de tensores en R k × T 1 k Q.
∆ = ∆1 + . . . + ∆k .
En este apartado vamos a introducir una familia (S 1 , . . . , S k ) de k campos de
tensores de tipo (1, 1) en Rk × T 1 k Q. Estos tensores nos permitirán, de modo análogo
a como ocurre en los sistemas mecánicos, introducir las denominadas formas
lagrangianas.
Para introducir esta familia de tensores vamos a partir de la estructura k-tangente
canónica definida sobre el fibrado de las k1-velocidades T 1 k Q, véase sección 1.2.1.C.
La estructura k-tangente canónica en T 1 k Q es el conjunto (J 1 , . . . , J k ) de campos
de tensores de tipo (1, 1) sobre T 1 k Q definidos por
VA J A (wq)(Zwq) =
donde Zwq ∈ Twq(T 1 k Q), wq ∈ T 1 k Q.
(τ k Q)∗(wq)(Zwq)
Aquí (Xq) VA
wq denota el levantamiento vertical A-ésimo de un vector arbitrario
Xq ∈ TqQ a T 1 k Q, definido en (1.20).
Para cada A = 1, . . . , k vamos a considerar la extensión natural del campo de
tensores J A en T 1 k Q a Rk × T 1 k Q, que denotaremos por SA y que tiene la misma
expresión local (1.25) que J A esto es,
S A = ∂
∂vi ⊗ dq
A
i
wq
,
1 ≤ A ≤ k . (6.17)
Estos tensores S A se llaman campos de tensores canónicos en R k × T 1 k Q.
En Rk × T 1 k Q también vamos a considerar otra familia de campos de tensores
( S1 , . . . , Sk ) de tipo (1, 1) definidos por
ˆS A = S A − ∆A ⊗ dt A , 1 ≤ A ≤ k , (6.18)