Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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214 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie Observación 5.50 Cuando se considera el algebroide de Lie E = T Q la transformación de Legendre aquí definida coincide con la transformation de Legendre introducida por Günther en [56]. La transformación de Legendre, Leg, induce una aplicación T E Leg : T E ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E) → T E ( k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E ∗ ) definida como sigue: T E Leg(aq, vbq) = aq, (Leg)∗(bq)(vbq) , donde aq ∈ Eq, bq ∈ k ⊕ E y (aq, vbq) ∈ TE ( k ⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E). Nótese que el siguiente diagrama es commutativo y así T E Leg está bien definida. k Leg k ⊕ E ⊕ E τ ∗ τ ∗ Q La expresión local de TELeg respecto a las coordenadas locales de TE ( k ⊕ E) y TE ( k ⊕ E ∗ ), (véase (5.23) y (5.59)), es la siguiente: T E Leg(q i , y α A, z α , w β B ) = (qi , ∂L ∂y α A , z α , z α ρ i α ∂ 2 L ∂q i ∂y γ C + w β B ∂ 2 L ∂y γ C ∂yβ B ⋄ ) . (5.76) Teorema 5.51 El par (T E Leg, Leg) es un morfismo entre los algebroides de Lie (TE ( k ⊕ E), ρτ , [·, ·] τ ) y (TE ( k ⊕ E∗ τ ∗ τ ∗ ), ρ , [·, ·] ). Además si ΘA L y Ω<strong>AL</strong> (respectivamente, ΘA y ΩA ) son las secciones de Poincaré-Cartan asociadas a una función lagrangiana L: k ⊕ E → R (respectivamente, las secciones de Liouville en TE ( k ⊕ E∗ )), entonces (T E Leg, Leg) ∗ Θ A = Θ A L, (T E Leg, Leg) ∗ Ω A = Ω A L , 1 ≤ A ≤ k . (5.77)
5.5 Equivalencia entre el formalismo lagrangiano y el hamiltoniano. 215 Demostración: En primer lugar tenemos que demostrar que (T E Leg, Leg) es un morfismo de algebroides de Lie. T E ( k ⊕ E) τ k⊕E k ⊕ E T E Leg Leg T E ( k ⊕ E ∗ ) τ k⊕E ∗ k ⊕ E ∗ Sea (qi ) un sistema local de coordenadas en Q, {eα} una base local de secciones de τ: E → Q y denotemos por {Xα, VA α} (respectivamente por {Yα, Uα A }) la correspondiente base local de secciones de τ k ⊕E : TE ( k ⊕ E) → k ⊕ E (respectivamente, τ k ⊕E ∗: TE ( k ⊕ E ∗ ) → k ⊕ E ∗ . Entonces usando (5.6), (5.27) y (5.76), mediante un cálculo directo, deducimos que (T E Leg, Leg) ∗ (Y α ) = X α , (T E Leg, Leg) ∗ (U A α) = d TE ( k ⊕E) ∂L ∂yα , (5.78) A para cada α = 1, . . . , m y cada A = 1, . . . , k donde {Xα , Vα A } y {Yα , UA α} denotan las bases duales de las bases de secciones de TE ( k ⊕ E) y TE ( k ⊕ E ∗ ) respectivamente. Así, teniendo en cuenta estas identidades, de (5.27) y (5.63) concluimos que (T E Leg, Leg) ∗ (d TE ( k ⊕E ∗ ) f) = d T E ( k ⊕E) (f ◦ Leg) (T E Leg, Leg) ∗ (d TE ( k ⊕E ∗ ) Y α ) = d T E ( k ⊕E) ((T E Leg, Leg) ∗ Y α ) (T E Leg, Leg) ∗ (d TE ( k ⊕E ∗ ) U A α) = d TE ( k ⊕E) ((T E Leg, Leg) ∗ U A α) , para toda función f ∈ C ∞ ( k ⊕ E ∗ ) y para todo α y A. Como consecuencia de estas relaciones se verifica que el par (T E Leg, Leg) es un morfismo de algebroides de Lie. Veamos ahora que se verifica (T E Leg, Leg) ∗ Θ A = Θ A L .
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A mi familia
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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Conclusiones. El punto de partida d
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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