Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.3 Formalismo lagrangiano: ecuaciones de Euler - Lagrange. 257
y así (t A ◦ τ(t,q))(s) = t A o (t A ◦ τs)(t, q) = t A . Entonces se verifica que
ˆπ R k ◦ τs = ˆπ R k.
Teniendo en cuenta esta última identidad se deduce que φs es una sección de
ˆπ R k. En efecto, se verifica
ˆπ R k ◦ φs = ˆπ R k ◦ τs ◦ φ = ˆπ R k ◦ φ = id R k ,
en donde en la última igualdad hemos utilizado que φ es una sección de ˆπ R k.
Definición 6.30 Una sección φ = (id R k, φQ): R k → R k × Q, perteneciente al conjunto
Secc(R k , R k × Q), es un extremal de S si
d
ds
s=0
S(τs ◦ φ) = 0
donde {τs} es el grupo local uniparamétrico de difeomorfismos de algún campo de
vectores Z ∈ X(R k × Q) que sea ˆπ R k-vertical.
El problema variacional asociado al lagrangiano L consiste en obtener los extremales
de la acción S.
Teorema 6.31 Sea φ ∈ SecC(Rk , Rk × Q) y L : Rk × T 1 k Q → R un lagrangiano.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) φ es un extremal del problema variacional asociado al lagrangiano L.
(2) (φ [1]
Q )∗ (LZ1(Ld k t)) = 0, para cada campo de vectores ˆπ Rk-vertical Z.
R k
(3) φQ es solución de las ecuaciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange (6.34).
Demostración:
(1 ⇔ 2) Sea Z ∈ X(R k × Q) un campo de vectores ˆπ R k-vertical y τs el grupo
uniparamétrico de difeomorfismos asociado a Z.