Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.1.2 Campos de k-vectores y secciones integrales. 11
En efecto, se verifica que
[(T 1 k )∗ ϕ] ∗ θ A = [(T 1 k )∗ ϕ] ∗ ((π k,A
Q )∗ θ) = (T ∗ ϕ ◦ π k,A
Q )∗ θ = (π k,A
Q )∗ ((T ∗ ϕ) ∗ θ)
= (π k,A
Q )∗ θ = θ A ,
donde hemos usado que (T ∗ ϕ) ∗ θ = θ (véase [1], pag. 180).
El apartado (ii) es una consecuencia directa de (i).
(2) Puesto que el generador infinitesimal del levantamiento completo Z C∗ de Z es
la prolongación canónica del generador infinitesimal de Z, del apartado (1) se
sigue que (1.7) se verifica.
1.1.2. Campos de k-vectores y secciones integrales.
Sea M una variedad diferenciable de dimensión n. Consideramos la suma de
Whitney
T 1 k M = T M⊕ k . . . ⊕T M
de k-copias del fibrado tangente T M y sea τ k M : T 1 k M → M la proyección canónica.
La variedad T 1 k M, que recibe el nombre de fibrado tangente de k1-velocidades, se
describirá con detalle en la subsección 1.2.1.
Definición 1.16 Un campo de k-vectores en M es una sección X : M −→ T 1 k M
de la proyección canónica τ k M .
Puesto que T 1 k M es la suma de Whitney T M⊕ . k.
. ⊕T M de k copias de T M,
un campo de k-vectores X define una familia de k campos de vectores {X1, . . . , Xk}
en M, a través de la proyección de X sobre cada factor de T 1 k M, tal como muestra
el siguiente diagrama para cada A = 1, . . . , k:
M
T 1 k M
τ k,A
X
M
XA
T M