Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

276 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
Demostración:
Sea Ψ una conexión en el fibrado ˆπ R k y supongamos que Ψ(t, q) = j 1 t φ donde
φ = (id R k, φQ) : R k → R k × Q es una sección de ˆπ R k con φ(s) = (s, φQ(s)) y
φQ(t) = q.
Consideremos un campo de vectores X ∈ X(Rk ) con expresión local
X(s) = XA(s) ∂
∂tA
s
para cada s ∈ Rk . Definimos el levantamiento horizontal de X a Rk × Q como el
campo de vectores XH dado por
XH
∂
(t, q) = φ∗(t)(X(t)) = XA(t)
∂tA
+
(t,q)
∂(qi ◦ φQ)
∂tA
∂
t ∂qi
(t,q)
∂
= XA(t)
∂tA
+ Γ
(t,q)
i A(t, q) ∂
∂qi (7.7)
.
(t,q)
A partir de la expresión local de X H se observa que este campo de vectores es
horizontal, es decir ∇(X H ) = X H .
Observación 7.8 Sean X ∈ X(R k ) y X H ∈ X(R k × Q) su levantamiento horizontal.
Entonces para cada (t, q) ∈ R k × Q se verifica que X H (t, q) coincide con el
levantamiento horizontal, según la Definición 7.5, del vector X(t) ∈ TtR k .
En efecto, según la definición 7.5 y la expresiones local (7.1) de ∇ obtenemos
que el levantamiento horizontal de X(t) es
∂
∇(t,q)(X(t)) = XA(t)
∂tA
+ Γ
(t,q)
i A(t, q) ∂
∂qi
= X
(t,q)
H (t, q) .
B. Campos de vectores en R k × Q asociados a una conexión.
Dada una conexión ∇ en ˆπ R k : R k × Q → R k , consideramos los levantamientos
horizontales YA de los generadores globales
∂
∂t A
⋄