Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

40 1 Formulación k-simpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
Ecuación de Navier. En este caso Q = R 2 y el lagrangiano viene dado por:
L: T R 2 ⊕ T R 2 → R
(q1 , q2 , v1 1 , v1 2 , v2 1 , v2 2 ) ↦→ (1
2 λ + µ)[(v1 1) 2 + (v 2 2) 2 ] + 1
2 µ[(v1 2) 2 + (v 2 1) 2 ] + (λ + µ)v 1 1v 2 2
Si la primera prolongación φ (1) de
φ : R 2 → R 2
t = (t 1 , t 2 ) ↦→ (φ 1 (t), φ 2 (t))
es una sección integral de (X1, X2), solución de (1.48), entonces φ es solución de las
ecuaciones de Navier, esto es:
(λ + 2µ) ∂2φ1 ∂(t1 ) 2 + (λ + µ) ∂2φ2 ∂t1∂t2 + µ ∂2φ1 ∂(t2 = 0 ,
) 2
µ ∂φ2
∂(t 1 ) 2 + (λ + µ) ∂2 φ 1
∂t 2 ∂t 1 + (λ + 2µ) ∂2 φ 2
∂(t 2 )
= 0 .
1.3. Equivalencia entre las formulaciones lagrangiana
y hamiltoniana.
En esta sección vamos a recordar la equivalencia que existe entre el formalismo
k-simpléctico lagrangiano y hamiltoniano.
Consideramos una función lagrangiana hiperregular L : T 1 k Q → R. En este caso
sabemos que la aplicación de Legendre F L es un difeomorfismo global. Esto nos
permite definir una función hamiltoniana H : (T 1 k )∗Q → R por
donde F L −1 es la inversa de F L.
H = EL ◦ F L −1
En estas condiciones se puede demostrar el siguiente resultado, que establece la
equivalencia entre la formulación lagrangiana y la hamiltoniana.