Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

286 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
y
p B j
para todo 1 ≤ A, B, C ≤ k.
∂Γ j
C ∂Γj
− A
∂t
A
∂t C + Γi ∂Γ
A
j
C
∂q i − ΓiC ∂Γ j
A
∂q i
= 0 , (7.30)
Ahora bien, teniendo en cuenta que la curvatura de ∇, (7.25), es cero, la ecuación
(7.30) se verifica, por lo que los campos de vectores de Reeb quedan caracterizados
por tener la siguiente expresión local
R ∇ A = ∂
∂tA + Γi ∂
A
∂qi − pBj ∂Γ j
A
∂q i
∂
∂p B i
. (7.31)
Proposición 7.16 Sea ∇ una conexión en el fibrado trivial ˆπ R k : R k × Q → R k . Si
∇ es una conexión llana entonces las ecuaciones geométricas de Hamilton (6.9) y
(7.27), correspondientes a H y H ∇ respectivamente, tienen las mismas soluciones.
Demostración:
Consideremos un sistema local de coordenadas tal que cada XA se escribe como
sigue:
∂
∂
XA = (XA)B
,
i ∂
+ (XA)
∂tB ∂q i + (XA) B i
donde (XA)B, (XA) i , (XA) B i ∈ C ∞ (R k × (T 1 k )∗ Q).
Supongamos que (X1, . . . , Xk) es solución de las ecuaciones geométricas (7.27),
entonces, las ecuaciones dtA (XB) = δA B equivalen a
Entonces, los campos XA se escriben:
∂p B i
(XA)B = δ A B, 1 ≤ A, B ≤ k . (7.32)
XA = ∂
i ∂
+ (XA)
∂tA ∂q i + (XA) B i
∂
∂p B i
. (7.33)
A partir de esta expresión local de XA y de la expresión local (7.24) de ω A ∇
obtenemos:
k
A=1
ıXA ωA ∇ =
−
p A i
∂Γ i B
∂t A + pA i (XA) j ∂Γi B
(XA) A i + p A j
∂q j + (XA) A i Γ i B − p A i
∂Γ j
A
∂qi
dqi + ((XA) i − Γi A ) dpAi .
∂Γi A
∂tB
dtB (7.34)