Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.5 Conexiones en T 1 k Q inducidas por una conexión lineal en Q. 139
4.5. Conexiones en T 1 k Q inducidas por una conexión
lineal en Q.
Denotamos por LQ el fibrado de referencias lineales sobre Q. Un punto u de LQ
se puede denotar por medio de una familia (q, ei) donde q ∈ Q y (e1, . . . , en)q denota
una referencia lineal en q. LQ se puede describir como la variedad de 1-jets, j 1 0ϕ, en
0 ∈ R n de difeomorfismos ϕ : U0 ⊂ R n → Q definidos en un entorno de 0 ∈ R n .
Denotamos por J 1 0,0(R k , R n ), la variedad de 1-jets, en 0 ∈ R k , j 1 0,0γ de aplicaciones
diferenciable γ : V0 ⊂ R k → R n , definidas en un entorno de 0 ∈ R n , tales que
γ(0) = 0.
El grupo lineal general GL(n, R) puede describirse como la variedad de 1-jets,
j 1 0A de difeomorfismos A : W0 ⊂ R n → R n definidos en un entorno de 0 ∈ R n .
Veamos que T 1 k Q = T Q⊕ . k.
. ⊕T Q ≡ J 1 0 (Rk , Q) es un fibrado vectorial asociado
a LQ con fibra J 1 0,0(Rk , Rn ).
En efecto, consideramos la acción dada por
El fibrado asociado
GL(n, R) × J 1 0,0(R k , R n ) → J 1 0,0(R k , R n )
(j 1 0A, j 1 0γ)) → j 1 0(A ◦ γ) .
E = LQ × J 1 0,0(R k , R n )/GL(n, R),
con proyección πE : E → Q, πE([j 1 0ϕ, j 1 0γ]) = π(j 1 0ϕ) = ϕ(0), es difeomorfo a
T 1 k Q ≡ J 1 0 (R k , Q) a través de la aplicación
E → T 1 k Q
[j 1 0ϕ, j 1 0γ] → j 1 0(ϕ ◦ γ) .
Es bien conocido que si Hj1 0ϕ, siendo j1 0ϕ ∈ LQ es el subespacio horizontal de
Tj1 0ϕ(LQ) definido por una conexión lineal ∇ en Q, el subespacio horizontal inducido
Qj1 0 (ϕ◦γ) en T 1 k Q definido por ∇ es
dado por
Q j 1 0 (ϕ◦γ) ⊂ T j 1 0 (ϕ◦γ)(T 1 k Q) = T [j 1 0 ϕ,j 1 0,0 γ](T 1 k Q)
Q j 1 0 (ϕ◦γ) = (Φ j 1 0,0 γ)∗(j 1 0ϕ)(H j 1 0 ϕ)