Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2.1 Elementos geométricos. 27
Definición 1.33 Dada una función lagrangiana L : T 1 k Q → R, la aplicación de
Legrendre F L : T 1 k Q → (T 1 k )∗Q se define como sigue:
donde
F L(v1q, . . . , vkq) = ([F L(v1q, . . . , vkq)] 1 , . . . , [F L(v1q, . . . , vkq)] k )
[F L(v1q, . . . , vkq)] A (uq) = d
ds
para cada A = 1, . . . , k y uq ∈ TqQ.
La expresión local de F L es
s=0
L
v1q, . . . , vAq + suq, . . . , vkq ,
F L : (q i , v i A) −→ (q i , ∂L
∂v i ) . (1.34)
A
De las expresiones locales (1.3), (1.32) y (1.33) de θA , ωA , θA L y ωA L se obtienen
las siguientes identidades que relacionan las formas canónicas en (T 1 k )∗Q con las
formas lagrangianas definidas en T 1 k Q:
F. Estructura k-simpléctica en T 1 k Q.
θ A L = F L ∗ θ A , ω A L = F L ∗ ω A , 1 ≤ A ≤ k . (1.35)
, que acabamos de introducir, junto con la
Q → Q,
Q si añadimos alguna
condición de regularidad sobre la función lagrangiana L.
Las 2-formas diferenciales ω1 L , . . . , ωk L
distribución vertical V = ker T (τ k Q ), determinada por el fibrado τ k Q : T 1 k
constituirán una estructura k-simpléctica sobre el fibrado T 1 k
Definición 1.34 Una función lagrangiana L : T 1 k Q −→ R se dice regular (resp.
hiperregular) si la correspondiente aplicación de Legendre F L es un difeomorfismo
local (resp. global). En otro caso L se dice singular.
De la expresión local de F L, (1.34), obtenemos que L es regular si, y sólo si, la
2 ∂ L
matriz
es no singular.
∂v i A ∂vj
B
La condición de regularidad impuesta sobre un lagrangiano L nos permite definir
una estructura k-simpléctica en T 1 k Q, tal y como se recoge en la siguiente proposición
que aparece demostrada en [107]: