Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

+ ∂H
∂p B j
= 0 ∂H
∂qj
(Φ◦ψ)(t)
(Φ◦ψ)(t)
∂Φi ∂qk
+ δ j
i δA B
∂Φ
ψ(t)
B j
∂pA k
verificándose así la identidad (b).
B. Caso lagrangiano.
∂H
∂p B j
+ δ
ψ(t)
j
i δA B − δ A ∂Φ
C
i
∂qk
=
(Φ◦ψ)(t)
∂H
∂pA
,
i (Φ◦ψ)(t)
∂Φ B j
(Φ◦ψ)(t) ∂pC k
ψ(t)
El resultado que vamos a demostrar a continuación se corresponde con la Proposición
2.20 del Capítulo 2.
Proposición Sea L : T 1 k Q → R una función lagrangiana regular y Φ: T 1 k Q → T 1 k Q
un difeomorfismo. Si Φ verifica
Φ ∗ ω A L = ω A L , 1 ≤ A ≤ k y Φ ∗ EL = EL (salvo constantes),
entonces Φ es una simetría del sistema k-simpléctico lagrangiano (T 1 k Q, ωA L , EL).
Demostración:
Tenemos que probar:
Si φ : U0 ⊂ Rk → Q es una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange
(1.44), entonces Φ ◦ φ (1) = ϕ (1) siendo ϕ : Rk → T 1 solución de (1.44).
k Q también una
Sin embargo, lo que vamos a probar aquí, teniendo en cuenta que L es regular,
es la siguiente afirmación equivalente a la anterior:
F L ◦ Φ ◦ φ (1) : U0 ⊂ R k → (T 1 k )∗ Q es una solución de las ecuaciones de
Hamilton-de Donder-Weyl (1.13); esto es
(a)
(b)
∂H
∂p A i
∂H
∂q i
F L(Φ(φ (1) (t)))
(F L◦Φ ◦φ (1) )(t)
= ∂(F L ◦ Φ ◦ φ(1) ) i
∂tA
t
k ∂(F L ◦ Φ ◦ φ
= −
(1) ) i A
∂tA
A=1
donde el hamiltoniano es H = EL ◦ F L −1 .
t
,
(A.14)
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