Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

254 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
B. Principio variacional y ecuaciones de campo de Euler-Lagrange.
En este apartado deducimos las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir de un
principio variacional.
El principio variacional que vamos a considerar aquí se desarrolla sobre el fibrado
trivial R k × Q → R k . La teoría general para un fibrado arbitrario ˆπ : Y → X puede
verse en A. Echeverría-Enríquez et al. [35].
Para desarrollar el principio variacional que nos proporciona las ecuaciones de
campo de Euler-Lagrange necesitamos considerar levantamientos de difeomorfismos
y campos de vectores Rk × Q a Rk × T 1 k Q. Comenzamos este apartado recordando
estos conceptos que pueden encontrase en Saunders [125].
Sea f : R k × Q → R k × Q un difeomorfismo de ˆπ R k-fibrados y sea f R k : R k → R k
el difeomorfismo inducido en la base. Queremos levantar f a un difeomorfismo
j 1 f : R k × T 1 k Q → R k × T 1 k Q
tal que el siguiente diagrama sea commutativo:
R k × T 1 k Q
(ˆπ R k )1,0
Rk × Q
ˆπ R k
Rk j 1 f
f
f R k
k 1 R × Tk Q
(ˆπ R k )1,0
k R × Q
k R
Podemos así introducir la siguiente definición, (véase Saunders [125]):
Definición 6.26 Sea f : Rk ×Q → Rk ×Q un morfismo de ˆπ Rk-fibrados y denotemos
por fRk : Rk → Rk la aplicación en la base, que suponemos un difeomorfismo. La
aplicación j1f : Rk × T 1 k Q → Rk × T 1 k Q definida por
(j 1 f)(j 1 t φ) := j 1 (f ◦ φ ◦ f −1
R k )(f R k(t)) ≡ j 1 f R k (t)(f ◦ φ ◦ f −1
R k ) ,
con φ(id R k, φQ) una sección de ˆπ R k se llama levantamiento canónico del difeomorfismo
f.
ˆπ R k