Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

206 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
donde d denota la diferencial exterior d TE ( k
⊕E ∗ ) en el algebroide de Lie T E ( k
⊕ E ∗ ),
véase (5.63).
Reescribiendo el apartado (2) de la Definición 5.2 de la diferencial exterior de
un algebroide de Lie para el algebroide TE ( k
⊕ E ∗ ), podemos escribir:
Ω A L (ξ1, ξ2) = −dΘ A (ξ1, ξ2)
τ ∗
= [ρ (ξ2)](ΘA τ ∗
(ξ1)) − [ρ (ξ1)](ΘA (ξ2)) + ΘA τ ∗
([ξ1, ξ2 ] ) ,
(5.67)
para todo par ξ1, ξ2 ∈ Sec(TE ( k
⊕ E ∗ τ ∗ τ ∗
)) donde (ρ , [·, ·] ) denota la estructura de
algebroide de Lie de TE ( k
⊕ E ∗ ).
A continuación escribimos las expresiones locales de las secciones Θ A y Ω A .
Consideremos
{Xα, V β
B }
una base local de secciones de τ k
⊕E∗ : TE ( k
⊕ E∗ ) → k
⊕ E∗ y
{X α A, V B β }
su base dual. Entonces de la definición (5.60) de los elementos de la base local
{Xα, V β
B } y de la definición de ΘA se obtiene
ΘA b ∗ q (Xα(b ∗ q)) = ΘA b ∗ q (eα(q), ρi α(q) ∂
) = y A β (b ∗ q)e β
(q) eα(q) = y A α (b ∗ q)
Θ A b ∗ q (Vα B (b ∗ q)) = Θ A b ∗ q
y por lo tanto
(0q, ∂
∂y B α
Θ A =
∂q i
) =
b ∗
q
b ∗ q
y A β (b ∗ q)e β (q)
(0q) = 0 ,
m
y A β X β , 1 ≤ A ≤ k . (5.68)
β=1
Así de las expresiones (5.61), (5.62), (5.63) y (5.68) correspondientes a la expre-
sión de d = d TE ( k
⊕E ∗ ) , los campos de vectores asociados a una base local de secciones,
el corchete de secciones y la expresión local de Θ A se obtiene la expresión local de
Ω A , esto es,
Ω A =
β
X β ∧ V A β + 1
C
2
β,γ,δ
δ βγy A δ X β ∧ X γ , 1 ≤ A ≤ k . (5.69)