Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

272 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
y
Definimos
H(t,q)(ˆπ R k) := Im∇(t,q)
H(ˆπ R k) =
(t,q)∈R k ×Q
H(t,q)(ˆπ R k)
y procediendo como en un apartado anterior de la demostración se comprueba que
T (R k × Q) = H(ˆπ R k) ⊕ V (ˆπ R k).
Definición 7.2 Una conexión en el fibrado ˆπ R k : R k × Q → R k es uno de los elementos
equivalentes anteriores. El espacio H(ˆπ R k) recibe el nombre de sub-fibrado
horizontal de T (R k × Q) asociado con la conexión Ψ y sus secciones son los campos
de vectores horizontales. La forma ∇ se denomina forma de la conexión.
Ahora vamos a calcular las expresiones locales relativas a una conexión en el
fibrado R k × Q → R k .
Consideremos un sistema local de coordenadas (t A , q i )1≤A≤k, 1≤i≤n en un abierto
U ⊂ R k × Q. La expresión general de una 1-forma ˆπ R k-semibásica en R k × Q con
valores en T (R k × Q) es
∇ = f B A dt A ⊗ ∂
∂t B + Γi Adt A ⊗ ∂
∂q i
pero como ∇ verifica α ◦ ∇ = α para toda 1-forma ˆπ Rk-semibásica, en particular se
verifica dtB ◦ ∇ = dtB , 1 ≤ B ≤ k de donde se sigue que la expresión local de la
forma de la conexión ∇ es
∇ = dt A
∂
⊗
∂tA + Γi ∂
A
∂qi
(7.1)
donde Γ i A ∈ C∞ (R k × Q).
Por otra parte, como para cada (t, q) ∈ R k × Q se verifica
H(t,q)(ˆπ R k) = Im∇(t,q)
entonces una base de la fibra H(t,q)(ˆπ Rk) = Im∇(t,q) viene dada por
∂
∇(t,q)
∂tA
=
(t,q)
∂
∂tA
+ Γ
(t,q)
i A(t, q) ∂
∂qi
, 1 ≤ A ≤ k
(t,q)