Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

164 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
De las expresiones (5.24), (5.29) y (5.31) obtenemos que ξ VA se escribe en función
de la base local
{Xα, V B β }
de secciones del fibrado vectorial τ k
⊕E : TE ( k
⊕ E) → k
⊕ E como sigue:
ξ VA (aq, bq) = (0q, y α (aq) ∂
Observación 5.14
∂yα
bq A
) = y α (aq)V A α(bq) , 1 ≤ A ≤ k . (5.32)
(1) En el caso estándar, es decir, cuando E = T Q y ρ = idT Q, dados dos elementos
uq ∈ TqQ y vq = (v1q, . . . , vkq) ∈ T 1 k Q se obtiene
(uq) VA
vq
d
=
ds
s=0
f(v1q, . . . , vAq + suq, . . . , vkq) , 1 ≤ A ≤ k ,
que coincide con la definición de levantamiento vertical A-ésimo del vector uq
tangente a Q, a un vector tangente a T 1 k Q, (véase por ejemplo [56, 107, 119] y
el apartado C de la sección 1.2.1 de esta memoria).
(2) Si reescribimos este apartado en el caso particular k = 1 obtenemos que ξ V1 ≡
ξ V : E ×Q E → T E E es la aplicación levantamiento vertical introducida por
E. Martínez en [96, 98].
D. Endomorfismo verticales en T E ( k
⊕ E).
En el fibrado tangente de las k1-velocidades, T 1 k Q, hemos definido, en la sección
1.2.4, la estructura k-tangente canónica J 1 . . . , J k . Estas familia de tensores de tipo
(1, 1) se emplea en el desarrollo de la formulación lagrangiana k-simpléctica de las
teorías clásicas de campos de primer orden.
En este apartado vamos a introducir el objeto análogo en el contexto de los
algebroides de Lie.
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