Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

152 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
Denotemos por TEP el espacio total del pull-back de T π : T P → T Q por
ρ: E → T Q
TEP ≡ E ×T Q T P
T P
esto es,
E
ρ
T π
T Q
T E P = {(b, vp) ∈ E × T P | ρ(b) = T π(vp)} (5.9)
donde T π : T P → T Q denota la aplicación tangente a π.
Nosotros vamos a considerar un fibrado vectorial con espacio total T E P pero no
el fibrado pull-back sino un fibrado sobre P que definiremos a continuación.
Denotaremos por τP : T E P ≡ E ×T Q T P → P la aplicación definida por
τP (b, vp) = τP (vp) = p ,
donde (b, vp) ∈ T E P, y τP : T P → P es la proyección canónica.
Si p es un punto de P , se sigue que
(τP ) −1 (p) = (T E P )p = Eπ(p) ×T Q (TpP ) = {(b, vp) ∈ Eπ(p) × TpP | ρ(b) = Tpπ(vp)}
es un subespacio vectorial de Eπ(p) × TpP , donde Eπ(p) denota la fibra de E sobre
el punto π(p) ∈ Q. Además, si n ′ es la dimensión de P, se puede probar que
dim(T E P )p = m + n ′ − n .
Así concluimos que τP : T E P → P es un fibrado vectorial sobre P de rango
m + n ′ − n.
La suma y el producto por números reales están definidos, en este espacio vectorial,
como se indica a continuación:
(aπ(p), vp) + (a ′ π(p), v ′ p) = (aπ(p) + a ′ π(p), vp + v ′ p) ,
λ(aπ(p), vp) = (λaπ(p), λvp) .
Tenemos así definido un fibrado vectorial (T E P, τP , P ) a través de la proyección
τP : T E P ≡ E ×T Q T P → P
(aπ(p), vp) ↦→ τP (aπ(p), vp) = τP (vp) = p